The Fokker-Planck Equation

Scott Hottovy

6 May 2011

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf

1 介绍

根据牛顿第二定律, 布朗粒子(Brownian particle)可从微分方程导出, 称为 Langevin equation, 由下式给出

\[
m\frac{d^2 x}{dt^2}=F(x,t),
\]

这里的力 $F(x,t)$ 是确定性力和随机力之和. 于是粒子在时间 $t$ 的位置 $x(t)$ 是一个随机过程(stochastic process). 我们的目标是理解这个模型中的转换概率(transition probabilites).

1.1 Fokker-Planck 方程的推导

设 $p(x(t))$ 是随机过程 $x(t)$ 的概率密度(probability density). 我们假设 $x(t)$ 是一个 Markov 过程. 也就是说,

\[
p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_1)=x_1, x(t_2)=x_2\Bigr)=p\Bigl(x(t_3)=x_3\biggr| x(t_2)=x_2\Bigr)
\]

以上文字翻译自

References:

http://www.math.wisc.edu/~shottovy/NumPDEreport.pdf